29.012006 на математическом факультете МПГУ прошла

Московская региональная олимпиада школьников

LXVIV Московская математическая олимпиада

Окружной тур  11 класс

 

1. Решить систему уравнений

2. Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше?

3. Найдите все такие функции f(x), что f(2x+1)=4x² +14x+7.

4. Найдите все такие натуральные числа, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

5. Из точки не лежащей в плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и три наклонные, проекции которых на данную плоскость равны a, b и c. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные образуют с плоскостью углы, сумма которых равна 90°.

6. Двое играют на доске 8х8 по следующим правилам. Каждый своим ходом закрашивает одну клетку, причем каждая клетка может быть закрашена только один раз. Проигрывает тот, после чьего хода образуется закрашенный квадрат 2х2. Кто выиграет: начинающий или его партнер и как нужно играть, чтобы выиграть?

7. В четырехугольнике ABCD AB = BC; ÐA = ÐB = 20°; ÐC =30°. Продолжение стороны AD пересекает BC в точке M, а продолжение стороны CD пересекает AB в точке N. Найдите угол AMN.

 

Подробную информацию смотрите на сайте www.mccme.ru