Московская
региональная олимпиада школьников
Окружной
этап на базе МПГУ
11
класс (5 марта 2006 г.)
1. Из бочки вина перелили ложку вина в (неполный)
стакан с чаем. А потом такую же ложку получившейся смеси чая и вина перелили из
стакана в бочку. Чего стало больше: чая в бочке или вина в стакане?
2. Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 семиугольной звездочки (рис. 1).
3. Нарисуйте траекторию движения точки расположенной на окружности,
радиуса r,
катящейся по другой окружности, радиуса R, если r
= 
R (рис. 2).
4. Найдите остаток от деления
числа 
на 7.
5. Найдите все целые решения уравнения x2 –5xy + 4y2 = 7.
6. Найдите все значения параметра a, при которых система 
имеет только одно
решение.
7. Докажите, что у любого многогранника имеются, по крайней мере, две грани с одинаковым числом ребер. Приведите пример многогранника, у которого нет трех граней с одинаковым числом ребер.
Ответы и решения
1. Одинаково.
2. 540о.
3. Ответ приведен на рисунке 3. 
4. Заметим, что 1000 при
делении на 7 равноостаточно с –1. Поэтому 
равноостаточно с –10.
Последующие слагаемые также равноостаточны с –10 и, значит, вся сумма
равноостаточно с числом –100, которое, в свою очередь, равноостаточно с 5.
Таким образом, искомый остаток равен 5.
5. (1, 2), (-1, -2), (9, 2), (-9, -2).
6. Заметим, что если пара (x, y)
является решением, то и пара (-x, y) также является решением. Поэтому, если данная
система имеет единственное решение, то оно должно иметь вид (0, y). Подставив (0, y) в систему, получим
Отсюда следует, что y =
1 или y = -1, и соответственно a = 0
или a = 2.
Рассмотрим сначала случай a = 0. Исходная система перепишется в виде
Легко видеть, что пара (0, 1)
является решением. Покажем, что других решений нет. Действительно, из второго
уравнения следует, что |x| 
1. Поэтому x2
|x| и, следовательно, y, выражаемое из первого уравнения, больше или
равно 1. Но из второго уравнения следует, что |y| 
1. Это возможно
только в случае y = 1 и x = 0.
Пусть теперь a = 2. В этом случае имеем систему
Непосредственной проверкой убеждаемся, что пары (1, 0) и (-1, 0)
являются ее решениями.
Таким образом, исходная система
имеет единственное решение только в случае a = 0.
6. Рассмотрим грань с наибольшим
числом ребер n.
Ее окружают n
граней с числом ребер 3, 4, …, n. Среди них обязательно найдутся две грани с одинаковым
числом ребер. Примером многогранника, у которого нет трех граней с одинаковым
числом ребер, является треугольная призма с одним отрезанным углом. У него две
треугольные, две четырехугольные и две пятиугольные грани.
