24 октября 2005 г. на математическом факультете Московского педагогического государственного университета, в рамках Школы дополнительного математического образования, состоялась олимпиада для учащихся 7-11 классов, в которой приняли участие около 150 учащихся г. Москвы и Московской обл.

 

7 класс

1.     Два поезда идут навстречу друг другу по параллельным путям. Один со скоростью 36 км/ч, другой – 45 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него в течение 6 секунд. Какова длина первого поезда.

2.     Если от каждого из двух чисел отнять половину меньшего из них, то остаток от большего будет втрое больше остатка от меньшего. Во сколько раз большее число будет больше меньшего?

3.     Известно, что монеты в 1, 2, 3 и 5 копеек весят, соответственно, 1, 2, 3 и 5 грамм. Среди четырех монет (по одной каждого достоинства) одна бракованная: немного отличающаяся весом от нормальных. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную?

4.     На столе стоят семь стаканов дном вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли дном вниз?

5.     Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь: а) три прямые; б) четыре прямые; в) пять прямых; г) n прямых на плоскости?

8 класс

1.     Три охотника сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй – одну, третий – ни одной, но он расплатился пятью патронами. Как должны поделить патроны первые два охотника.

2.     Двое учащихся, высокий и низкий, вышли одновременно из одного пункта в школу. У высокого шаг на 20% длиннее, чем у низкого, но зато низкий успевает сделать за то же время, что и высокий, на 20% больше шагов. Кто из них раньше придет в школу?

3.     У трехзначного числа поменяли местами две последние цифры и сложили получившееся число с исходным. В результате получилось число 1187. Найдите все такие числа и обоснуйте ответ.

4.     Расположите числа от 1 до 9 в клетках квадрата 3x3 так, чтобы суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях квадрата совпадали.

5.     Из шахматной доски выпилили две угловые клетки по диагонали. Можно ли оставшуюся часть разрезать на прямоугольники по две клетки в каждом?

9 класс

1.     Среди четырех людей нет трех, у которых совпадают и фамилия, и имя, и отчество. Но у любых двух из них совпадают либо имена, либо фамилии, либо отчества. Может ли такое быть?

2.     Имеется три кучи камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 30. Играют двое. За ход можно разбить любую кучу на две меньше. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?

3.     Докажите, что число 2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²² делится на 7.

4.     В каждой клетке доски 5x5 сидит жук. В некоторый момент все жуки переходят в соседние клетки (клетки, имеющие общую сторону). Обязательно ли при этом останутся пустые клетки?

5.     Можно ли правильный пятиугольник разрезать на параллелограммы? Почему?

10 класс

1.     Из стакана молока перелили три ложки содержимого в стакан с чаем и тщательно перемешали. Затем три ложки смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего стало больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

2.     В олимпиаде по математике приняло участие 40 учеников. Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. Из них решили задачи по алгебре 20 учеников, по геометрии 18, по тригонометрии 18, по алгебре и геометрии 7, по алгебре и тригонометрии 8, по геометрии и тригонометрии 9, трое не решили ни одной задачи. Сколько учеников решило все три задачи? Две задачи?

3.     Найдите наименьшее натуральное число, дающее следующие остатки: 1 при делении на 2; 2 при делении на 3; 3 при делении на 4; 4 при делении на 5; 5 при делении на 6.

4.     Из всех четырехугольников, вписанных в окружность, найдите четырехугольник наибольшей площади.

5.     Можно ли на ребрах куба расставить натуральные числа от 1 до 12 так, чтобы сумма чисел на ребрах, входящих в каждую вершину, была одинаковой?

11 класс

1.     На грядке лежит 100 кг огурцов, только что сорванных с содержанием влаги 99%. Полежав некоторое время, огурцы посохли, и содержание влаги в них стало 98%. Какова теперь масса огурцов?

2.     Докажите, что число 11¹⁰ – 1 делится на 100.

3.     В мешке 101 конфета. Малыш и Карлсон играют в такую игру: по очереди (первым – Малыш, вторым – Карлсон) они берут из мешка от 1 до 10 конфет. Когда все конфеты разобраны, игроки подсчитывают взятое число конфет. Если эти числа взаимно простые, то выигрывает Малыш, если нет – Карлсон. Кто выиграет?

4.     На окружности расставлены 20 точек. За ход разрешается соединить любые две точки отрезком, не пересекающим ранее проведенные отрезки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре.

5.     Можно ли из 13 кирпичей размером 1x1x2 сложить куб размером 3x3x3 с пустым внутри центральным кубиком 1x1x1?