ПРОГРАММА
Школы дополнительного математического образования
2005-2006 уч. год
АРИФМЕТИКА
1. Натуральные числа и их свойства. Метод математической индукции.
2. Фигурные числа. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Биномиальные коэффициенты.
3. Магические и греко-латинские квадраты.
4. Целые числа. Отношение делимости. Теорема о делении с остатком. Арифметика остатков. Признаки делимости на 3, 5, 7, 9, 11, 13.
5. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Алгоритм Евклида и его приложения.
6. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики.
7. Числа Мерсена и Ферма. Совершенные числа.
8. Числа Фибоначчи. Возвратные последовательности.
9. Неопределенные уравнения первой степени и их решение.
10. Пифагоровы тройки. Решение уравнений в целых числах.
11. Системы счисления. Арифметические операции в недесятичных системах счисления. Применение систем счисления в играх и взвешиваниях.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
1. Множества и операции над ними. Булева алгебра и ее приложения.
2. Понятие об аксиоматике, непротиворечивости и моделях.
3. Математические доказательства. Необходимые и достаточные условия. Доказательство от противного.
4. Логические задачи. Задачи на взвешивание, переливание, переправы и др.
5. Принцип Дирихле и его применение к решению задач.
КОМБИНАТОРИКА
1. Сочетания, размещения, перестановки без повторений и формулы для вычисления их числа.
2. Правила сложения и умножения и их применение для решения комбинаторных задач.
2. Сочетания, размещения, перестановки с повторениями и формулы для вычисления их числа.
3. Формулы сокращенного умножения. Комбинаторные тождества.
ГРАФЫ
1. Графы и их свойства.
2. Уникурсальные графы. Задача Эйлера о Кенигсбергских мостах.
3. Теорема Эйлера. Задача о трех домиках и трех колодцах.
4. Задача о раскрашивании карт на плоскости. Теорема о пяти красках.
АЛГЕБРА
1. Алгебра многочленов. Основная теорема алгебры. Теорема Безу.
2. Симметрические многочлены и их применение к решению задач.
3. Алгебраические уравнения и методы их решения.
4. Показательные и логарифмические уравнения. Методы их решения.
5. Тригонометрические уравнения и методы их решения.
6. Уравнения с параметром и методы их решения.
7. Числовые неравенства. Средние величины (арифметическое, геометрическое, гармоническое, квадратическое) и неравенства между ними.
8. Алгебраические неравенства и методы их решения.
9. Показательные и логарифмические неравенства. Методы их решения.
10. Тригонометрические неравенства и методы их решения.
11. Неравенства с параметром и методы их решения.
12. Системы уравнений и методы их решения.
13. Системы неравенств и методы их решения.
НАЧАЛА АНАЛИЗА
1.
Понятие числа. Рациональные и иррациональные,
алгебраические и трансцендентные числа.
2. Комплексные числа и операции над ними. Кватернионы и операции над ними. p-адические числа и их применение к решению задач.
3. Последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии. Задание последовательности с помощью рекуррентных соотношений. Способы вычисления сумм и произведений.
4. Функции и графики. Операции над функциями. Композиция функций. Обратная функция. Элементарное исследование функций.
5. Функциональные уравнения и элементарные функции.
6. Классические неравенства. Неравенство Коши-Буняковского. Примеры использования выпуклости функций при доказательстве неравенств.
7. Задачи на максимум и минимум.
ПЛАНИМЕТРИЯ
1. Аксиомы планиметрии. Роль аксиомы непрерывности и аксиомы параллельности.
2. Понятие многоугольника. Выпуклые, невыпуклые и звездчатые многоугольники.
3. Сумма углов выпуклых, невыпуклых и звездчатых многоугольников.
4. Теоремы Менелая, Чевы, Ван-Обеля и их применение к решению задач.
5. Замечательные точки и линии в треугольнике. Окружность девяти точек. Прямые Эйлера и Симсона. Точка Жергона и точка Нагеля.
6. Золотое сечение. Золотые прямоугольники и треугольники.
7. Вписанные и описанные многоугольники. Необходимые и достаточные условия вписанности и описанности четырехугольника. Теорема Птолемея.
8. Геометрические места точек. Кривые, как геометрические места точек: парабола, эллипс, гипербола и др.
9. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Критерий разрешимости задач на построение циркулем и линейкой. Примеры неразрешимых классических задач на построение.
10. Равновеликость и равносоставленность. Задачи на разрезание.
11. Заполнение плоскости многоугольниками. Паркеты.
12. Комбинаторные задачи по геометрии.
13. Экстремальные геометрические задачи. Задача Герона, задача Штейнера, изопериметрическая задача и др.
14. Кривые, как траектории движения точек: циклоида, эпициклоиды и гипоциклоиды.
15. Фракталы.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
1. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
2. Многогранные углы и их свойства.
3. Многогранники. Выпуклые и невыпуклые многогранники. Изготовление моделей многогранников.
4. Сечения многогранников. Построение сечений.
5. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников и ее применение к решению задач.
6. Тетраэдр и его свойства. Виды тетраэдров.
7. Правильные, полуправильные и звездчатые многогранники.
8. Каскады из правильных многогранников.
9. Вписанные и описанные многогранники.
10. Фигуры вращения.
11. Изображение пространственных фигур в параллельной, ортогональной и центральной проекциях.
12. Симметрия фигур в пространстве. Элементы симметрии правильных многогранников. Понятие группы.
13. Сечения цилиндра и конуса. Взаимосвязь сечений цилиндра и тригонометрических функций.
14. Ориентируемые и неориентируемые поверхности. Лист Мёбиуса, бутылка Клейна и др.
15. Площадь поверхности. Задачи на нахождение площадей поверхности.
16. Объем и его свойства. Задачи на нахождение объемов пространственных тел.
17. Аналитическое задание пространственных фигур.
18. Использование компьютерных графических редакторов для изображения пространственных фигур.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г.Вебер, И.Вельштейн, В.Якобсталь. Энциклопедия элементарной математики. Руководство для преподающих и изучающих элементарную математику. В трех томах. Перевод с немецкого под редакцией и с примечаниями В.Кагана. – Одесса, 1913.
2.
Энциклопедия элементарной математики, книги I-V. – М.: Физматгиз, Москва,
1961 - 1966.
3.
Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1997.
4. Школьная
энциклопедия. Математика. – М.: Дрофа, 1997.
5.
Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Аванта+, 2001.
II. Книги
1. Адамар Ж.
Элементарная геометрия. Части I, II. Учпедгиз, Москва, 1948,
1951.
2. Болтянский
В.Г. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1985.
3.
Н.Я.Виленкин. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.
4.
Н.Я.Виленкин, Л.П.Шибасов, З.Ф.Шибасова. За страницами учебника математики.
Книга для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.:
Просвещение, 1996.
5. В.В.Зайцев,
В.В.Рыжков, М.И.Сканави. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
6. Ф.Клейн.
Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. I,
II. – М.: Наука, 1987.
7.
Г.С.М.Кокстер. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.
8.
Г.С.М.Коксетер, С.Л.Грейтцер. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.
9. Р.Курант,
Г.Роббинс. Что такое математика. – М. Просвещение, 1967.
10.
С.И.Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
11. О.Оре.
Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука, 1980.
12. Перепелкин
Д.И. Курс элементарной геометрии. Части I, II. ОГИЗ, Гостехиздат. Москва,
Ленинград, 1948, 1949.
13. Г.Райзер.
Комбинаторная математика. – М.: Мир, 1966.
14.
Г.Радемахер, О.Теплиц. Числа и фигуры. – М.: Наука, 1966.
15.
А.А.Савелов. Плоские кривые. – М.: Государственное издательство физико-математической
литературы, 1960.
16. Л.Л.
Степанова. Избранные главы элементарной теории чисел. Учебное пособие. –
М.:Прометей, 2001.
17. Л.Феликс.
Элементарная математика в современном изложении. – М.: Просвещение, 1967.
18. М.Холл.
Комбинаторика. – М.: Мир, 1970.
19. Серия книг
«Популярные лекции по математике». – М.: Государственное издательство
физико-математической литературы.
20. Серия книг
«Математическое просвещение». – М.: Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
21. Статьи в
журналах: Квант, Математика в школе, Математическое образование, Соросовский
образовательный журнал.
1. Б.Делоне и
О.Житомирский. Задачник по геометрии. – Москва, Ленинград.: Государственное
издательство технико-теоретической литературы.
2.
Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов. Пособие по математике для поступающих в
Вузы. – М.: Наука, 1971.
3.
Г.В.Дорофеев, Г.К.Муравин, Е.А.Седова. Математика. Подготовка к письменному
экзамену за курс средней школы. Решение задач с методическими рекомендациями.
11 класс. – М.: Дрофа, 2001.
4. Е.Б.Дынкин,
С.А.Молчанов, А.Л.Розенталь, А.К.Толпыго. Математические задачи. – М.: Наука,
1971.
5.
В.В.Прасолов. Задачи по планиметрии. Части I, II. – М.: Наука, 1986.
6.
В.В.Прасолов, И.Ф.Шарыгин. Задачи по стереометрии. – М.: Наука, 1989.
7. В.В.
Произволов. Задачи на вырост. – М.: Мирос, 1995.
8. Сборник
задач по математике (под ред. М.И.Сканави). – М.: Высшая школа, 1972.
9.
В.Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. – М.: Просвещение, 1968.
10.
И.Х.Сивашинский. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.
11. Ч.Тригг.
Задачи с изюминкой. – М.: Мир, 1975.
12. Ч.Тригг.
Избранные задачи. – М.: Мир, 1977.
13.
Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Избранные задачи и теоремы элементарной
математики. Части 1-3. – М.: Государственное издательство технико-теоретической
литературы, 1950, 1952, 1954.
14. А.М.Яглом
и И.М.Яглом. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. – М.:
Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.
1.
Н.Б.Васильев, В.Л.Гутенмахер и др. Заочные математические олимпиады. – М.:
Наука, 1986.
2.
Н.Б.Васильев, А.А.Егоров. Задачи всесоюзных математических олимпиад. – М.:
Наука, 1988.
3.
Г.А.Гальперин, А.К.Толпыго. Московские математические олимпиады. – М.:
Просвещение, 1986.
4. Зарубежные
математические олимпиады. Под ред. И. Н. Сергеева. – М.: Наука, 1987.
5. Л.П.Купцов,
Ю.В.Нестеренко и др. Математические олимпиады школьников. – М.: Просвещение,
1999.
6. А. А.
Леман. Сборник задач московских математических олимпиад. М. Просвещение, 1965.
7.
И.С.Петраков. Математические олимпиады школьников. – М.: Просвещение, 1982.
8. А. П. Савин
и др. Физико-математические олимпиады. – М.: Знание, 1977.
9.
С.Страшевич, Е.Бровкин. Польские математические олимпиады. – М.: Мир, 1978.
10. Д.В.
Фомин, Ленинградские математические олимпиады, С-Пб,1994.
11.
П.В.Чулков. Школьные олимпиады, 5-6 классы. – М.: НЦ ЭНАС, 2003.
12. Г. Н.
Яковлев, Л.П. Купцов, С. В. Резниченко, П. Б. Гусятников. Всероссийские
математические олимпиады школьников. –
М.: Просвещение, 1992.
V.
Занимательная математика
1. И.И.Баврин, Е.А.Фрибус. Старинные задачи. – М.: Просвещение, 1994.
2. Ст. Барр. Россыпи Головоломок. – М.: Мир, 1987.
3. У.Болл, Г.Коксетер. Математические Эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.
4. М.Гарднер. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971.
5. М.Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.
6. А.П.Доморяд. Математические игры и развлечения. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.
7. Е.И.Игнатьев. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.
8. Б.А.Кордемский. Математическая смекалка. – М.: Наука, 1991.
9. С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов. Старинные занимательные задачи. – М.: Наука, 1988.
10. Я.И.Перельман. Занимательные задачи и опыты. – Д.: ВАП, 1994.
11. Я.И.Перельман. Занимательная геометрия. – Д.: ВАП, 1994.
12. Г.Штейнгауз. Задачи и размышления. – М.: Мир: 1974.